Mathematik  |  Informatik

 

Nils Blunier, 2005 | Buchs, AG

 

Die Binomialmodellformeln und die Black-Scholes-Formeln für europäische und die rekursive Berechnungsmethode für amerikanische Optionspreise werden hergeleitet. Zudem wird ein Pricing-Tool programmiert, welches den Preis einer gewünschten Option gemäss den hergeleiteten Methoden berechnet. Es wird gezeigt, wie man europäische Optionspreise mit Monte-Carlo-Simulationen schätzen kann. Es wird ausserdem der Einfluss von verschiedenen Parametern auf den europäischen und amerikanischen Optionspreis untersucht. Ausserdem werden Long- und Short-Butterfly-Spreads besprochen und gezeigt, wie man den Preis von europäischen und amerikanischen Optionen mit einer beliebigen Payoff-Funktion berechnet. Für die Herleitung der Black-Scholes-Formeln wird der Aktienkurs als geometrische brownsche Bewegung modelliert und das Binomialmodell im Grenzwert betrachtet. Um den Einfluss der Parameter auf den Optionspreis zu untersuchen, werden die Black-Scholes-Formeln nach dem jeweiligen Parameter abgeleitet, um eine allfällige Monotonie festzustellen. Die Modellannahmen sind zu kritisieren, da sie reale Begebenheiten missachten und so ein verfälschtes Resultat liefern. Zudem würde sich für niedrige Modellschrittzahlen das Trinomialmodell besser eignen als das Binomialmodell.

Fragestellung

In der Arbeit werden das Binomialmodell und das Black-Scholes-Modell untersucht und damit die Binomialmodellformeln, die Black-Scholes-Formeln und die rekursive Berechnungsmethode für amerikanische Optionspreise hergeleitet. Das Ziel ist, dass die Theorie für eine Leserschaft mit mathematischen Vorkenntnissen verständlich ist. Zudem wird ein Programm entwickelt, das die Berechnung von europäischen und amerikanischen Optionen automatisiert. Die Theorie wird verwendet, um den Einfluss der Parameter auf den Optionspreis zu untersuchen und auch Preise von europäischen und amerikanischen Optionen mit beliebigen Payoff-Funktionen zu berechnen.

Methodik

Die Theorie entstammt zum grössten Teil dem Buch «Introduction to the Mathematics of Finance: Arbitrage and Option Pricing» von Steven Roman. Hierbei wird für das Black-Scholes-Modell der Aktienkurs als geometrische brownsche Bewegung modelliert und das Binomialmodell im Grenzwert betrachtet. Amerikanische Optionspreise werden rekursiv berechnet. Um den Einfluss der Parameter auf den Optionspreis zu untersuchen, werden die Black-Scholes-Formeln nach dem jeweiligen Parameter abgeleitet. Das Pricing-Tool wird in Python geschrieben.

Ergebnisse

Der Call-Optionspreis wird positiv vom Aktienpreis, dem risikolosen Zinssatz, der Volatilität und der Laufzeit und negativ vom Ausübungspreis beeinflusst. Der Put-Optionspreis wird positiv vom Ausübungspreis und der Volatilität und negativ vom Aktienpreis und dem risikolosen Zinssatz beeinflusst. Europäische und amerikanische Call-Optionen haben denselben Preis, wobei amerikanische Put-Optionen jeweils teurer als die entsprechenden europäischen Puts sind. Das Pricing-Tool kann die Binomialmodellformeln, die Black-Scholes-Formeln und die rekursive Methode für amerikanische Optionen benutzen, um einen gewünschten Optionspreis zu berechnen, wobei es die Parameter Volatilität und Drift mithilfe von im Internet erhältlichen Daten berechnet.

Diskussion

Das Black-Scholes-Modell und das Binomialmodell sind beliebte Möglichkeiten zur Modellierung von Aktien- und Optionspreisen, da die jeweiligen Berechnungen relativ einfach sind. Jedoch sind die vielen Modellannahmen zu kritisieren, da sie die Realität auf eine unrealistische Art vereinfachen. Das Trinomialmodell wäre zudem vor allem für kleine Schrittzahlen besser geeignet als das Binomialmodell. Auch müssen gewisse Parameter willkürlich festgelegt werden, da sie nicht allgemeingültig bestimmbar sind. Das programmierte Pricing-Tool erfüllt seine Aufgabe, jedoch dauert die Berechnung von amerikanischen Optionspreisen für grosse Schrittzahlen sehr lange.

Schlussfolgerungen

Die nötige Theorie konnte hergeleitet werden. Würde ich die Arbeit noch einmal beginnen, würde ich probieren, die Theorie auch für eine Leserschaft mit weniger mathematischen Vorkenntnissen zugänglich zu machen. Die theoretischen Ausbaumöglichkeiten wären gross, so könnte man diverse andere Optionstypen, zum Beispiel Bermuda- oder binäre Optionen, behandeln. Auch könnte man die Modelle an weitere reale Gegebenheiten anpassen, indem man beispielsweise zufällige, grössere Sprünge im Aktienpreis einbaut, wie sie bei Börsencrashs stattfinden, oder indem man berücksichtigt, dass gewisse Aktien Dividenden auszahlen.

 

 

Würdigung durch den Experten

Matthias Grützner

Nils Blunier beschäftigt sich in der vorliegenden Arbeit mit der Herleitung der Black-Scholes-Formeln und der Darstellung von finanzmathematischen Inhalten in einer Form, die von gymnasialen Absolventen verstanden und nachvollzogen werden kann. Beeindruckend ist dabei insbesondere die Tiefe der Inhalte, die bis weit in das Masterstudium Mathematik hineinreichen. Weiterhin leistet Nils Blunier mit der Implementierung der Black-Scholes-Formeln und einer Monte-Carlo-Simulation ein Mittel zur Veranschaulichung der Formeln. In einer umfassenden Diskussion reflektiert er die Annahmen des Modells.

Prädikat:

sehr gut

 

 

 

Neue Kantonsschule Aarau
Lehrer: Dr. Maik Berchtold