Mathematik | Informatik
Una Kaiser, 2006 | Chur, GR
Diese Arbeit untersucht die physikalischen und mathematischen Eigenschaften eines Wellenpendels. Ein Wellenpendel besteht aus unterschiedlich langen Pendeln, die gemeinsam faszinierende Schwingungsmuster erzeugen. Zur Visualisierung wird eine Geogebra-Animation erstellt, wobei durch eine gezielte Wahl der Periode des Schwingungsmusters die einzelnen Pendellängen berechnet werden und die den Bewegungen zu Grunde liegende Funktion aufgestellt wird. Weiter wird eine Kopplung zwischen zwei dieser Pendel modelliert. Hierzu werden die Bewegungsgleichungen mit dem Lagrange-Formalismus aufgestellt und in Python numerisch gelöst. Eine weitere mögliche Kopplung ist die des gesamten Wellenpendels. Ebenso erfolgt ein physischer Bau des Wellenpendels. Die Arbeit liefert Einblicke in das Wellenpendel, den physischen Bau von Modellen und in gekoppelte Schwingungssysteme. Ausserdem liefert die Arbeit gute Ansätze für eine weiterführende Forschung zur Dynamik des gekoppelten Wellenpendels.
Fragestellung
Diese Arbeit befasst sich mit der Frage, wie das Wellenpendel funktioniert und wie eine Kopplung der einzelnen Pendel miteinander das Gesamtsystem beeinflusst.
Methodik
Bei der Erarbeitung des Wellenpendels wurde die Gleichung der eindimensionalen harmonischen Welle und die Gleichung eines mathematischen Pendels verwendet, um die den Bewegungen zu Grunde liegende Funktion zu erhalten. Diese Bewegungen der Pendel wurden in Geogebra simuliert. Beim Bau des Wellenpendelmodells wurde zuerst ein Plan erstellt und dann schliesslich aus einem Aluminiumgerüst, Golfkugeln und einer Angelschnur gebaut.
Die Gleichungen für die Modellierung der Kopplung von zwei Pendeln wurden mit dem Lagrange-Formalismus aufgestellt. Die resultierenden Bewegungsgleichungen wurden in Python mit dem Runge-Kutta-Verfahren, welches in der Arbeit erklärt wurde, numerisch gelöst.
Für das Schreiben der Arbeit wurde Latex verwendet und sämtliche Abbildungen wurden mit Adobe Illustrator von der Autorin selbst erstellt.
Ergebnisse
Im Hinblick auf das ungekoppelte Wellenpendel gehört zum Resultat die Animation in Geogebra, die nach der Aufstellung der Gleichungen erstellt werden konnte. Zum anderen ist das Resultat eine Auseinandersetzung mit der Frage, wie die unterschiedlichen Längen der Pendel auf eine gewünschte Periode der Musterabfolge abgestimmt sein müssen, damit die spezifischen Muster entstehen. Es resultiert eine Funktion, welche die Länge eines jeden Pendels definiert.
Zum Resultat gehören auch die mit dem Lagrange-Formalismus aufgestellten Gleichungen der zwei gekoppelten Pendel, welche senkrecht zu ihrer Schwingungsrichtung gekoppelt sind und die numerisch in Python gelöst worden sind
Diskussion
Der Autorin gelang es, herauszufinden, wie ein Wellenpendel funktioniert und konnte dieses auf verschiedene Aspekte hin untersuchen. Ebenfalls gelang es ihr zu erfassen, wie sich zwei gekoppelte Pendel verhalten, die zwar unterschiedlich lang sind, aber gleich ausgelenkt werden, also wie sich zwei Pendel des gekoppelten Wellenpendels unabhängig von den anderen Pendeln verhalten. Die neu erlernten Methoden konnten problemlos angewandt werden.
Schlussfolgerungen
Das Wellenpendel konnte näher untersucht werden und eine Kopplung bei senkrecht zur Schwingungsebene gekoppelten Pendel konnte beschrieben und in Python gelöst werden.
Erst im Rahmen von Schweizer Jugend forscht gelang es der Autorin, die korrekten Gleichungen für die beiden gekoppelten Pendel aufzustellen. Auf das gesamte gekoppelte Wellenpendel wurde mathematisch nur kurz eingegangen, das eröffnet die Möglichkeit für eine weiterführende Arbeit.
Würdigung durch die Expertin
Dr. Laura Kobel-Keller
Frau Kaiser untersucht in ihrer Arbeit das Wellenpendel, einen gekoppelten Mechanismus aus mehreren Pendeln. Ihre Betrachtungen reichen dabei gemäss einer guten wissenschaftlichen Praxis vom Bau einer eigenen Versuchsanordnung über die mathematische Beschreibung und Analyse bis hin zur numerischen Simulation der beobachteten Phänomene. Besonders hervorzuheben ist das komplett eigenständige Erlernen der Theorie der Lagrangen Mechanik, einer anspruchsvollen mathematischen Beschreibung mechanischer Prozesse und deren äusserst souveräne Anwendung auf die vorliegende Situation.
Prädikat:
sehr gut
Bündner Kantonsschule, Chur
Lehrer: Dr. Franco Joos